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黎曼

黎曼(1826.9.17—1866.7.20)德国数学家。生于汉诺威的布瑞塞林兹,卒于意大利的色拉斯卡。1846年入格廷根大学,师从高斯。1847—1849年在柏林大学就读,听过狄利克雷、雅可比等的讲课。1851年获博士学位。两年后提出论文〈On the representation of a function by means of a trigonometrical series〉申请哥廷根的(无给)讲师职位,1854年在伟大的高斯面前发表就职演说〈On the Hypothesis that forms the foundation of Geometry〉。在这篇演说中,黎曼为此后一百五十年的微分几何大业指出了方向,立下了基础,论文的本身不仅是个数学史上的一篇杰作,并且在表达上也是一个典范。1857年黎曼升副教授,1859升教授,并继承 Dirichlet 的位置。 Dirichlet 在1855年继承高斯,生前总是尽己所能协助和支持黎曼。 1859年去世以后,33岁的黎曼成为高斯的第二个继承人。1859年任格廷根大学教授同年当选为德国科学院院士。他的科学成就广泛,在数论、复变函数论、傅里叶级数、微分几何、代数几何和微分方程等方面都有贡献,并写过物理学方面得论文。他提出了黎曼积分并创立了黎曼几何,后者为爱因斯坦得广义相对论提供了最合适得数学工具。他著作主要有《单复变函数得一般理论得基础》、《数学物理的微分方程》和《椭圆函数论》等。
他的具体成就有:
一、复变函数论 黎曼和柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人.而黎曼:
1 通过复变函数的导数定义,建立复变函数论的基础 2 对多值函数定义黎曼曲面 3 黎曼曲面的拓扑(黎曼是第一个研究曲面拓扑的人,他引进横剖线的方法来研究曲面的连通性质) 4 黎曼曲面上的函数论(黎曼研究的基本问题是黎曼曲面上函数的存在性及唯一性问题.他比以前数学家的先进之处在于,函数的存在不必通过构造出解析表达式来证明,黎曼可以通过其奇点来定义,这对后世数学有重要影响.) 5 狄利克雷原理(黎曼给出其证明并有效地表述及运用狄利克雷原理,这个原理是他从狄利克雷的课程中学来的)
二、阿贝尔函数论 关于阿贝尔函数,黎曼发表过两篇文章:一是<阿贝尔函数论>,一是<论函数的零点>. 1阿贝尔积分的表示及分类(黎曼对由定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类.第一类阿贝尔积分,在黎曼曲面上处处有界.线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p,如果曲面的连通数,这p个阿贝尔积分称为基本积分.第二类阿贝尔积分,在黎曼曲面上以有限多点为极点.第三类阿贝尔积分,在黎曼曲面上具有对数奇点.每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和. 2黎曼-洛赫定理(这是代数函数论及代数几何学最重要的定理.黎曼得到的黎曼不等式,是黎曼-洛赫定理的原始形态) 3 黎曼矩阵,黎曼点集和阿贝尔函数. 4 函数及雅可比反演问题(为了研究雅可比簇,黎曼推广雅可比 函数,引进了黎曼函数. 5 双有理变换的概念和参模
三、超几何级数和常微分方程 超几何微分方程有3个奇点0,1,a,它作为二阶微分方程有两个独立特解和,其他解均为这两解的线形组合.黎曼的思想是当,沿绕奇点的路径变化时必经历线形变换 对于所有绕奇点的路径,这些变换组成群.他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形,他证明给定线形变换后,这n个独立函数满足一个n阶线形微分方程,但他没有证明这些奇点(支点)和这些变换可以任意选取,从而留下了著名的黎曼问题.希尔伯特把他列入23个问题中的第21个问题.
四、 解析理论 黎曼是现代意义下解析数论的奠基者,生前他只在1859年发表过一篇论文<论给定数以内的素数数目>
五、实分析----函数观念,黎曼积分,傅立叶级数,连续不可微函数 黎曼积分是数学特别是物理应用的主要分析工具;黎曼还是最早认识到连续性及可微性的区别的数学家之一.
六、几何学 黎曼的空间观念使数学及物理发生空前的变革.黎曼的几何论文有两篇,一篇是他的授课资格的演讲,另一篇是所谓<巴黎之作>,即<论热传导问题>